A. EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF
ET "STRATIFICATION" DE L'ATMOSPHERE

Résumé —  L'équation de transfert sous forme intégrale est écrite pour un milieu non diffusant, et en particu­lier pour l'atmosphère. La fonction de poids en température est définie, et une correction pour la tempé­rature apparente de corps noir du rayonnement cosmique est mise en lumière. L'équation de transfert est ensuite écrite sous forme discrète pour l'atmosphère stratifiée. Trois modèles d'atmosphère, reliant l'altitude, la pres­sion, la température et la concentration de vapeur d'eau sont présentés.

 

 

 

 

 

1. CAS GENERAL POUR UN MILIEU NON DIFFUSANT

Cette section est un résumé adapté des sections correspondantes de Kraus [1986], Ulaby et al. [1981] et Fleagle & Businger [1980]. Voir aussi les fondements donnés par Chandrasekhar [1960]. Le problème d'une atmosphère diffusante est reporté au chapitre C.

 

 

 

1.a. Absorption

          

 

Figure 1 : milieu absorbant.

 

La propagation d'une onde dans un milieu absorbant s'accompagne d'une atténuation. Une onde se propageant dans un tel milieu (figure 1) voit sa densité de flux S décroître de la quantité –dS pour une distance parcourue dx. dS est proportionnel à dx et à S ; on peut donc écrire [Kraus, 1986] :

 

 

                                   dS  =  – S a dx                                                              (1)

 

 

a (unité : m–1) est le coefficient d'atténuation1 (ou d'absorption puisqu'on néglige ici la diffusion) du milieu et peut varier avec x. Kraus [1986] l'appelle constante d'atténuation, Ulaby et al. [1981] le notent k et l'appellent coefficient d'extinction. L'intégration de (1) entre 0 et r donne, dans le cas où a est constant avec x :

 

 

                          S(r) = S(0) e–a r                                                                                  (2)

 

 

t = a r est appelé épaisseur optique. Un milieu pour lequel t >> 1 est dit "optiquement" épais, et "optiquement" mince si t << 1. L'atténuation (de puissance) subie par l'onde est et, soit, en dB : 10 t / Log(10).

Si a n'est pas constant (si par exemple la densité du milieu est variable), alors l'épaisseur optique est :

 

 

                                                                                                  (3)

 

 

En considérant un cylindre infinitésimal parallèle à la direction de propagation, on aurait pu établir de façon similaire une relation identique à (2) à propos d'une luminance B, ou d'une température apparente associée TAP pour les fréquences concernées par l'approximation de Rayleigh-Jeans :

 

 

                                                                                             (4)

 

 

 

(Note de bas de page) 1 : défini ainsi, a est égal à deux fois la partie réelle de la constante de propagation γ, cette partie réelle étant souvent notée également a.

 

 

 

1.b. Emission plus absorption

Le milieu absorbant émet également de l'énergie électromagnétique. La quantité de lumi­nance dBe émise par un volume cylindrique élémentaire de longueur dx dans la direction indiquée sur la figure 1 peut s'écrire :

 

 

                          dBe = a J dx                                                                  (5)

 

 

J est appelé fonction de source. La quantité dBe est de façon évidente proportionnelle à dx. La définition de la fonction de source fait apparaître a dans la relation (5) pour des raisons de commodité pour la suite.

Toujours en considérant le cylindre élémentaire d'épaisseur dx, la différence dB entre la luminance sortante et entrante est la somme des termes dBe et dBa relatifs respectivement à l'émission et à l'absorption :

 

 

                          dB = dBe + dBa = a (J – B) dx                                       (6)

 

 

En réintroduisant l'épaisseur optique, on obtient l'équation de transfert :

 

 

                                                                                                   (7)

 

 

 

 

1.c. Intégration

La fonction de source telle qu'elle vient d'être définie est en fait la luminance B* de corps noir donnée par la loi de Planck. Ce résultat est une conséquence de la loi de Kirchhoff, qui affirme que dans les conditions de l'équilibre thermodynamique local, l'émission ther­mique doit égaler l'absorption, et cela aussi bien pour l'ensemble du spectre électromagnétique que pour une fréquence donnée. L'intégration de (7), qui est une équation de Leibniz, conduit alors à l'expression suivante :

 

 

                          B(r)  =  B(0) e–t + B* (1 – e–t )                                      (8)

 

 

Dans le cas où l'approximation de Rayleigh-Jeans est autorisée (ce qu'on supposera pour la suite), faire intervenir les températures conduit à :

 

 

                          TAP(r)  =  TAP(0) e–t + T (1 – e–t )                                 (9)

 

 

T est la température (physique) du milieu absorbant, qui doit être constante pour la vali­dité des expressions (8) et (9). En revanche le coefficient d'atténuation du milieu peut être va­riable avec x, t étant toujours défini par (3).

Dans le cas plus général où la température du milieu n'est pas constante, il faut redéfinir t de la façon suivante :

 

 

                                                     (10)

 

 

Le "t " des paragraphes précédents est maintenant t (0, r).

Après quelques calculs [Ulaby et al., 1986], on parvient à :

 

 

                                   (11)

 

 

L'interprétation de cette dernière formule est la suivante : la température apparente issue du milieu absorbant est la somme de la température incidente atténuée par le milieu, et de la contribution propre de chaque couche du milieu, atténuée par toutes les couches suivantes. Dans le cas de la formule (9), la contribution propre du milieu est le produit de sa température physique et de son "émissivité", égale à son facteur d'absorption (complément à 1 de son fac­teur de transmission e–t ).

 

 

 

 

 

2. APPLICATION A L'ATMOSPHERE

2.a. Equation

Nous allons prendre comme exemple l'observation au nadir de l'atmosphère terrestre (milieu absorbant) depuis un satellite. La variable x va être remplacée par l'altitude z, r par H (sommet de l'atmosphère) et TAP(0) représentera la contribution de la surface de la Terre avant atténuation.

 

Cette contribution de la surface est la somme des trois termes suivants.

– Le produit de l'émissivité es de la surface et de sa température Ts (contribution propre) ;

– Le produit du facteur de réflexion de la surface et du rayonnement incident ("descendant") sur la surface ; ce facteur de réflexion est égal à 1 – es d'après la loi de Kirchhoff, la somme des coefficients d'absorption et de réflexion (et de transmission éven­tuellement, non présente ici) étant égale à 1. Cette contribution descendante de l'atmosphère se calcule de la même façon que la contribution di­recte montante, sauf que le rayonnement émis par chaque couche infinitésimale est atténué par les couches au-dessous d'elle et non plus au-dessus.

– Le produit du facteur de réflexion de la surface et du rayonnement cosmique de corps noir TAP(∞), incident au sommet de l'atmosphère et atténué par la tra­versée de celle-ci. Ce rayonnement joue pour la contribution descendante le même rôle que joue TAP(0) pour la contribution montante.

 

Cette formulation du traitement de la surface apparaîtra quelque peu simpliste au cha­pitre D et devra être revue pour certains types de surface.

Nous sommes maintenant en mesure d'écrire l'expression de la température apparente vue par un radiomètre visant au nadir au-dessus d'une atmosphère non diffusante. Les quatre termes de la somme sont respectivement les contributions montante, propre de la surface, des­cendante et du rayonnement cosmique. Dans chacun des trois derniers termes les facteurs sont écrits dans l'ordre "chronologique" de leur influence.

 

 

 

                    

                                  

 

                                  

                                                        (12)                  [Note :  = ∞]

 

 

 

(L'usage de la fonction t à l'intérieur des exponentielles simplifierait un peu l'écriture de cette dernière expression.)

Pour un avion volant à l'altitude Z et observant au nadir la partie de l'atmosphère au-dessous de lui, il faudrait bien sûr remplacer H par Z dans les deux premiers termes et dans le dernier facteur des deux derniers termes du second membre de l'équation (12). Si le sondeur regarde au zénith il faut considérer uniquement les deux derniers termes de (12), privés cha­cun de leurs deux derniers facteurs et remplacer l'altitude nulle (0) par Z dans ce qui reste.

On peut imaginer une autre formulation [Scott & Chédin, 1971] faisant intervenir la pression au lieu de l'altitude. Soit T(P) le facteur de transmission du rayonnement par l'atmosphère entre le satellite et le niveau de pression P d'altitude z :

 

 

                                                                                        (13)

 

 

On vérifiera alors que, Ps et PH étant les pressions à la surface et au sommet de l'atmosphère, le premier terme (par exemple) du second membre de l'équation (12) devient :

 

 

                                                                               (14)

 

 

 

 

 

2.b. Fonction de poids

Nous pouvons maintenant formuler rigoureusement l'expression de la fonction de poids W(z) (voir I.C.2.a). Rappelons que la fonction de poids ("en température") mesure la contri­bution, à la température apparente globale, de la couche dz de température T(z). Dans le cas le plus simple où l'on néglige le rayonnement descendant réfléchi par la surface, W est simple­ment le facteur multiplicatif de T(z) dz dans le premier terme de (12) (nous supposons tou­jours que le radiomètre est situé hors de l'atmosphère et vise au nadir) :

 

 

                                                          (15)

 

 

On vérifiera qu'avec l'emploi de T on aboutit à :

 

 

                                                            (16)

 

 

Si l'on ne néglige pas la contribution descendante, on obtient :

 

 

                                         (17)

 

 

La fonction de poids en température a pour unité l'inverse d'une longueur.

 

 

 

2.c. Remarques diverses

A propos de toutes ces expressions s'appliquent les remarques ci-dessous.

        –   On s'est placé à une fréquence (ou sur une bande de fréquence étroite) donnée, implicite dans les définitions de a, t, es, T et W.

        –   On suppose que l'antenne du radiomètre vise dans une seule direction, c'est-à-dire que son diagramme de rayonnement est constitué par un lobe suffisamment étroit.

D'autre part, deux points méritent d'être approfondis.

 

Effet de l'angle de visée

On a supposé viser au zénith ou au nadir, c'est-à-dire verticalement. Si l'on veut traiter le cas d'un angle de sondage q (figure 2), en gardant l'altitude z comme variable d'intégration, il suffit de remplacer a par a secq partout où a(z) ou a(z') intervient, c'est-à-dire pour t (z, z'), TAP(H), T (P) et W(z).

 

 

 

Figure 2 : angles zénithal et de visée pour un satellite observant la Terre.

 

L'angle z que fait, avec le nadir, la direction dans laquelle regarde le satellite est diffé­rent de l'angle zénithal q (complémentaire de l'angle de site). C'est ce dernier qu'il faut prendre en compte dans le transfert radiatif. Les deux angles sont liés par la relation (R étant le rayon de la Terre et h l'altitude du satellite) :

 

 

                                                                                    (18)

 

 

D'autre part on a négligé l'effet de la courbure de la Terre : on considère que l'atmosphère est traversée sur un trajet de longueur H secq. On a négligé également l'effet de la réfraction atmosphérique. Ces approximations seront justifiées [Ulaby et al., 1981, p. 288] par le fait que les angles de site concernés dans les expériences qui nous intéressent sont tou­jours supérieurs à 20°.

 

Approximation de Rayleigh-Jeans et rayonnement cosmique

Effectuons un développement limité de B* (expression I.A.-(1)) :

 

 

                                                          (19)

 

 

Inversement, la température équivalente T de corps noir correspondant à la brillance B reçue est donnée par :

 

 

                                                                 (20)

 

 

Si l'on ne conserve que le premier terme du développement, on se place dans l'approximation de Rayleigh-Jeans : on commet alors une erreur donnée par les autres termes du développement, surtout le suivant : hn / 2k, soit environ 4,4 K à 183 GHz. Tant que la température n'est pas trop basse, et en particulier pour toute la gamme des températures atmo­sphériques (> 200 K), cette erreur reste quasi constante : à 183 GHz par exemple, elle varie de moins de 0,03 K. Pour l'équation de transfert radiatif exprimée en températures, elle ne serait pas gênante car le terme correctif — additif et constant — s'appliquerait identiquement à tous les membres de l'équation : on pourrait dire qu'on a toujours une linéarité entre puissance et température. En revanche pour les températures plus basses et en particulier pour le rayonne­ment cosmique à environ 2,7 K, le troisième terme du développement (20) n'est plus négli­geable et l'on n'a plus le droit d'écrire l'équation de transfert en température en prenant TAP(∞) = 2,7 K. Com­ment faire alors ?

On peut écrire l'équation avec les luminances spectrales B, après avoir calculé tous les B(z) à partir des T(z) par la formule de Planck, puis calculer la température apparente vue par le sondeur à partir de la luminance finale en inversant cette même formule.

Mais on peut aussi souhaiter garder l'équation de transfert sous la forme habituellement utilisée aux fréquences plus basses. Cela revient, comme nous allons le voir, à attribuer une température fictive (effective) au rayonnement cosmologique.

Prenons le cas d'un sondeur regardant vers le haut de l'atmosphère : c'est le cas où la correction proposée sera la plus sensible. B étant la luminance spectrale reçue par le sondeur, B(∞) celle associée à T(∞) = 2,7 K, l'équation de transfert radiatif s'écrit :

 

 

                                            (21)                  [Note :  = ∞]

 

 

En multipliant par c2 / 2kn 2 et en ajoutant hn / 2k de chaque côté, et en tenant compte de la relation :

 

                                                              (22)

 

Nous obtenons :

 

 

                                         (23)                  [Note :  = ∞]

 

 

Les températures T ' étant données par les deux premiers termes du développement (20) :

 

 

                                                  (24)

 

 

Pour les températures atmosphériques, on pourra prendre T '(z) = T(z). L'équation (23) est alors similaire à l'équation classique que l'on écrit pour les fréquences plus basses, sauf que la température apparente du rayonnement cosmique est maintenant donnée par (24), soit :

        –   3,6 K à 118 GHz,

        –   4,1 K à 150 GHz,

        –   4,7 K à 183 GHz.

Certes, l'erreur commise en oubliant cette correction est souvent minime, mais pas dans les cas où l'on vise vers le haut dans un canal fenêtre ou assez haut en altitude : à 150 GHz, depuis le sol, avec une atténuation atmosphérique de 2,3 dB, cette erreur est de l'ordre de 1 K pour une température apparente totale de 117 K.

Cette correction a été établie initialement par Stogryn [1975] et rappelée par, entre autres, Kakar [1983].

 

 

 

 

 

3. ECHANTILLONNAGE DES GRANDEURS ATMOSPHERIQUES

3.a. Equation de transfert pour une atmosphère stratifiée

Dans le dessein de calculer des températures apparentes suivant les conditions atmosphé­riques, l'équation de transfert sous la forme d'une intégrale (relation (12)) doit cé­der la place à une somme discrète. Pour cela l'atmosphère est divisée en N–1 couches limitées par N ni­veaux horizontaux. Le niveau 1 est celui du sommet de l'atmosphère (que l'on se fixe par exemple à 70 km d'altitude (pression égale à 0,05 mb) en négligeant l'effet de l'air à plus haute altitude sur la propagation des ondes) et le niveau N est celui du sol. La couche 1 est la plus haute. Des modèles standard d'atmosphère précisent, entre autres, l'altitude, la pression, la température, la densité de vapeur d'eau à chaque niveau.

On va ensuite calculer les température, pression et densité de vapeur d'eau moyennes pour chaque couche en faisant la moyenne des valeurs correspondantes des deux niveaux la limitant. Des modèles que nous décrirons dans les chapitres suivants permettent alors de cal­culer l'épaisseur optique totale de chaque couche.

En fait, transformer l'expression (12) en somme discrète ne va pas sans soulever quelques problèmes. En simplifiant un peu, les questions qu'il faut se poser sont du genre : va-t-on prendre pour chaque couche le "a" du niveau haut, du niveau bas ou du milieu de la couche (si tant est qu'on puisse le connaître, ou le calculer après avoir déterminé le t de la couche) ; doit-on prendre en compte, pour l'atténuation, les t des couches suivantes seule­ment, ou bien aussi le t de la couche courante, ou d'une demi-couche ? On peut vérifier que, suivant les choix que l'on fait, on est plus ou moins près (en o(t 2) ou o(t 3)) du point de vue qui est choisi le plus souvent dans la littérature et qui est le suivant :

 

 

 

Figure 3 : transfert radiatif pour une couche.

 

On reprend la relation (9) que l'on applique de couche en couche. Si Te et Ts sont les températures apparentes "d'entrée" et "de sortie" de la couche (figure 3), T sa température physique et t son épaisseur optique, on a :

 

 

                          Ts  =  Te e–t + T (1 – e–t )                                            (25)

 

 

Au sommet de l'atmosphère, on obtient, pour ce qui est de la contribution montante de l'atmosphère seulement (l'indice i marquant le numéro de la couche et les Ti étant les tempé­ratures physiques des couches) :

 

 

                                        (26)                  [Note :  = Σ]

 

 

(26) est la relation à laquelle on parvient à partir de l'intégrale correspondante si l'on considère comme constants sur chaque couche la température et le coefficient d'atténuation.

Le calcul des ti est l'objet des deux chapitres suivants (II.B et C).

 

 

 

3.b. Modèles d'atmosphère

Trois modèles classiquement employés nous ont été fournis par le LMD : "U. S. Standard" (tempéré), tropical et subarctique (tableau A, un peu trop riche en chiffres significa­tifs, et figure 4). L'atmosphère est divisée en 39 couches.

 

 

 

                              U.S.Standard                                     Subarctique                                    Tropical

 

Niv.    Pression      Alt.      Temp.    Densité H2O         Alt.       Temp.    Densité H2O         Alt.       Temp.   Densité H2O

             (hPa)         (m)         (K)        (g / g d'air)            (m)          (K)         (g /g d'air)            (m)          (K)       (g / g d'air)

 

    1         0.05        68508.   220.04    0.2173E-05         66665.   247.07     0.1934E-05        68663.    219.04    0.1954E-05

    2         0.09        64740.   230.85    0.2146E-05         62512.   249.95     0.1938E-05        64914.    229.59    0.1963E-05

    3         0.17        60480.   242.55    0.2116E-05         57986.   253.06     0.1943E-05        60680.    241.01    0.1972E-05

    4         0.30        56472.   253.00    0.2090E-05         53870.   255.84     0.1947E-05        56698.    251.21    0.1981E-05

    5         0.55        52024.   264.16    0.2062E-05         49443.   258.81     0.1952E-05        52283.    262.10    0.1990E-05

    6         1.00        47502.   268.47    0.2023E-05         45132.   248.93     0.1971E-05        47776.    268.73    0.2000E-05

    7         1.50        44388.   263.90    0.1984E-05         42262.   241.89     0.1991E-05        44652.    265.47    0.2008E-05

    8         2.23        41405.   257.24    0.1980E-05         39532.   235.10     0.2012E-05        41648.    259.29    0.2009E-05

    9         3.33        38473.   249.58    0.1984E-05         36852.   228.06     0.2025E-05        38687.    252.57    0.2004E-05

  10         4.98        35628.   240.30    0.2002E-05         34241.   221.55     0.2033E-05        35792.    246.03    0.1985E-05

  11         7.43        32893.   233.50    0.2009E-05         31701.   218.45     0.2018E-05        32987.    239.69    0.1989E-05

  12       11.11        30214.   228.02    0.2010E-05         29182.   215.46     0.2004E-05        30241.    233.45    0.2014E-05

  13       16.60        27590.   224.84    0.2004E-05         26700.   212.93     0.1995E-05        27571.    227.45    0.2011E-05

  14       24.79        25003.   222.18    0.1997E-05         24243.   211.59     0.1993E-05        24972.    221.53    0.2000E-05

  15       37.04        22444.   219.57    0.2006E-05         21783.   213.10     0.2011E-05        22436.    216.27    0.1959E-05

  16       45.73        21100.   218.22    0.1988E-05         20471.   214.00     0.1988E-05        21120.    212.21    0.2002E-05

  17       56.46        19763.   217.00    0.2024E-05         19155.   214.75     0.1986E-05        19833.    207.02    0.1998E-05

  18       69.71        18430.   217.00    0.1997E-05         17835.   215.08     0.1829E-05        18577.    201.92    0.2016E-05

  19       86.07        17097.   217.00    0.1968E-05         16510.   216.42     0.1991E-05        17352.    196.98    0.1999E-05

  20     106.27        15764.   217.00    0.2270E-05         15178.   217.00     0.3745E-05        16144.    196.44    0.1974E-05

  21     131.20        14432.   217.00    0.3691E-05         13846.   217.00     0.5097E-05        14915.    203.72    0.3312E-05

  22     161.99        13099.   217.00    0.6298E-05         12513.   217.00     0.8215E-05        13639.    211.77    0.4447E-05

  23     200.00        11766.   217.00    0.1392E-04         11180.   217.00     0.1098E-04        12310.    221.17    0.1329E-04

  24     222.65        11086.   217.00    0.2117E-04         10500.   217.00     0.1275E-04        11609.    225.82    0.2642E-04

  25     247.87        10401.   220.41    0.3444E-04           9820.   217.00     0.4118E-04        10894.    230.17    0.4721E-04

  26     275.95          9703.   224.88    0.5833E-04           9139.   217.00     0.1580E-03        10165.    235.29    0.1010E-03

  27     307.20          8990.   229.88    0.9753E-04           8456.   219.11     0.9868E-04          9419.    240.57    0.1886E-03

  28     341.99          8262.   234.30    0.1914E-03           7764.   222.31     0.3641E-04          8657.    245.67    0.3166E-03

  29     380.73          7520.   239.23    0.2872E-03           7061.   226.53     0.8593E-04          7879.    250.38    0.4922E-03

  30     423.85          6762.   244.32    0.4044E-03           6343.   231.51     0.1275E-03          7085.    256.00    0.7558E-03

  31     471.86          5989.   248.97    0.5745E-03           5609.   236.70     0.1939E-03          6274.    261.75    0.1146E-02

  32     525.00          5204.   254.49    0.8059E-03           4863.   241.95     0.2985E-03          5450.    267.05    0.7492E-03

  33     584.80          4394.   259.59    0.1152E-02           4092.   247.29     0.4689E-03          4599.    272.54    0.1135E-02

  34     651.04          3572.   264.96    0.1612E-02           3310.   251.41     0.6513E-03          3735.    278.61    0.3362E-02

  35     724.78          2732.   270.58    0.2217E-02           2517.   254.43     0.8033E-03          2853.    284.46    0.5839E-02

  36     800.00          1945.   275.36    0.2926E-02           1780.   256.65     0.9137E-03          2027.    287.79    0.9330E-02

  37     848.69          1466.   278.73    0.3358E-02           1335.   257.99     0.9660E-03          1528.    290.73    0.1073E-01

  38     900.33            982.   282.09    0.3792E-02             889.   258.78     0.9903E-03          1023.    293.79    0.1205E-01

  39     955.12            492.   285.05    0.4305E-02             443.   257.89     0.9320E-03            513.    296.90    0.1408E-01

40   1013.15                0.   287.35    0.4816E-02                 0.   257.19     0.8740E-03                0.    299.32    0.1616E-01

 

 

Tableau A : modèles d'atmosphère.

 

 

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Figure 4 : profil de température pour trois modèles d'atmosphère

 

Connaissant la pression de chaque niveau, on peut déterminer l'épaisseur de chaque couche (ou la hauteur de chaque niveau) à partir de l'équation hydrostatique. Celle-ci est obte­nue en considérant le poids de l'air, dans la colonne de hauteur dz, qui crée la différence de pression dP (figure 5) :

 

 

                          – dP  =  r g dz                                                             (27)

 

r : densité de l'air, kg/m3

g : accélération de la pesanteur, m/s2.

 

 

 

 

Figure 5 : colonne d'air.

 

L'équation des gaz parfaits ("PV = nRT ") peut s'écrire :

 

 

                                                                                                  (28)

 

Mair : masse molaire de l'air = 0,02898 kg pour de l'air sec

P, T : pression (Pa) et température (K) ambiantes

R : constante des gaz parfaits = 8,3144 J/K/mol.

 

 

La division de (27) par (28) conduit à :

 

 

                                                                                        (29)

 

 

Cette relation permet de calculer l'épaisseur de chaque couche en supposant celle-ci "infinitésimale". Signalons que nous avons négligé la variation de g avec la latitude et l'altitude.

Dans ces calculs, on a assimilé l'air à un gaz parfait. En toute rigueur il faudrait apporter une correction pour l'air humide : calculer une température "effective", dépendant de la teneur en vapeur d'eau et égale à la température vraie pour une humidité nulle, et appliquer la relation des gaz parfaits avec cette nouvelle température [Queney, 1974 ; Berroir, 1986].

Les trois atmosphères proposées sont plus ou moins riches en vapeur d'eau. Pour chaque atmosphère du tableau A, la dernière colonne donne la concentration de vapeur d'eau, en gramme, par gramme d'air ambiant. L'humidité relative RH est égale au rapport de la concentration de vapeur d'eau et de la concentration de vapeur d'eau saturante rs. Celle-ci est extrêmement variable avec la température, et est donnée en g/m3 par exemple par la formule suivante [Liebe, 1980] :

 

 

             rs  =  17,39 (300/T)6 1010–9,834(300/ T )  ≈  25 (300 / T)–17         (30)

 

 

Après transformation des grandeurs en unités adéquates et application de l'équation des gaz parfaits, on trouve, au niveau du sol, RH = 49%, 78% et 81% pour les atmosphères res­pectivement U.S. Standard, tropicale et subarctique. Des calculs voisins effectués pour toutes les couches permettent de calculer le contenu intégré en vapeur d'eau (i.e. la pression apportée par la vapeur d'eau dans une colonne d'air) de chaque atmosphère :

        –   U.S. Standard : 1,43 g/cm2,

        –   Tropicale : 4,01 g/cm2,

        –   Subarctique : 0,43 g/cm2.

 

La question du nombre de couches

Il est bien évident qu'il est préférable d'échantillonner l'atmosphère en "beaucoup" de niveaux, pour être assuré de la validité de la transformation en sommation discrète de l'équation de transfert. Cependant, multiplier les couches multiplie aussi le temps de calcul des épaisseurs optiques. Dans leurs modèles directs, Chang & Wilheit [1979] ont pris 100 couches (de 0 à 20 km), Warner [1985] 77, Gasiewski [1988] 40 à 50. En fait une quaran­taine semble être suffisant. Nous avons lancé des simulations sur notre programme en multi­pliant par 2 ou 3 le nombre de couches, par interpolation linéaire des grandeurs physiques entre deux niveaux adjacents initiaux (cette façon de procéder n'est bien sûr pas équivalente à la prise en compte d'un profil échantillonné 2 ou 3 fois plus finement) : la différence est infé­rieure à 0,01 dB sur le facteur de transmission de l'atmosphère et inférieure à 0,1 K sur la tempé­rature apparente au sommet de l'atmosphère, à 150 GHz ; la différence est encore plus petite pour un canal opaque. Dans l'infrarouge, Scott [1974 (b)] avait montré, en considérant les fonctions de poids, que 39 couches suffisaient largement : c'est donc le nombre qui avait été retenu pour STRANSAC.

 

 

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